Örüntü Sorusu

Merhabalar…

7. Sınıfta yer alan örüntünün kuralını ifade edebilme ile ilgili kazanım işlendikten sonra, 7. Sınıf öğrencisine örüntü ile ilgili bir problem sorulmuştur. Bu hafta öğrencinin bu probleme ilişkin çözümünü inceleyeceğiz. Öğrenciye sorulan örüntü problemi ve öğrencinin çözümü aşağıdadır:

Aşağıda çevrimiçi ortamda yukarıdaki soruya ilişkin yapılan tartışmadan bir kesit sunulmuştur:

Öğretmenlerimiz sizce Defne bu soruyu nasıl çözmüştür? Defne’nin akıl yürütmesi doğru mudur? Neden?

Öğretmen 1: Öğrenci resimlerde kare sayısını oluşan sütun sayısı ve her sütundaki kare sayısının çarpımıyla doğru bir şekilde yazmıştır. Ancak bu çarpımdaki ilk çarpanı adım sayısı olarak ilişkilendirdiği için kare sayısını hesaplarken kullanmamış, ikinci çarpanı kare sayısı olarak almıştır. İkinci çarpan adım sayısından hep iki fazla olduğu için 25.adımda 27 kare olduğunu bulmuştur. Aslında 25. adımda 25×27= 675 kare olmalıdır.

Öğretmen 2: Öğrencimiz verilen örüntüde ilk 4 adım için kare sayılarını yazmış ve bu kare sayılarının adım sayısı ile ilişkisini kare sayısını çarpanlarına ayırarak adım sayısı ve sütundaki kare sayıları ilişkilendirip doğru bir akıl yürütme ile başlamıştır. Fakat, sayıları tabloya aktarma kısmında karmaşa yaşayıp tabloda kare sayısı kısmını yanlış doldurmuştur. Adım sayısının ve adım sayısının 2 fazlası ile çarpılarak kare sayısını elde edememiştir. Kmustaac öğretmenimin de söylediği gibi 675 doğru cevabına ulaşamamıştır öğrencimiz. Yanlış akıl yürütme ile çözüm sürecini bitirmiştir.

Öğretmen 3: İlk dört adim için şekillerin alt kısmına yazmış olduğu ifadeler doğru olmuş ve buradan her adımda adım sayısının iki fazlasını kullanması gerektiğini tespit etmiş. Alt kısımlarda da bunları çarparak kare sayisini bulmuş. Ama tabloya aktardığı ifadelerin her adımda adim sayısının iki fazlasını elde ettiğini belirlemiş ama bunu adim sayısı ile çarpmak yerine direkt adımdaki kare sayısını olarak belirlenmiş. Şekillerin verildiği ilk dört adımda uygun akil yürütmüşken tabloda bilgileri karıştırıp yanlış bir çözüm elde etmiş.

Öğretmen 4: Yorum yapan öğretmenlerime katılıyorum. Öğrencimiz şekil örüntüsünü güzel anlamlandırmış fakat tabloya aktarma kısmında kafa karışıklığı yaşamış, karelerin sayısını çarpımın sonucu olarak yazması gerektiğini atlamış. Tabloya verileri aktarırken uygun akıl yürütememiş ve hatalı sonuca ulaşmış. yani aslında adım sayısı ve karelerin sayısı aralarında ki ilişkiyi tam oturtamamış.

Öğretmen 5: Diğer hocalarıma katılıyorum. öğrenci ilk 4 adımda şekillerin alt kısmına doğru kare sayısını bulmuştur. fakat tablolaştırması yanlıştır.

Peki öğretmenlerimiz, öğrencinin probleme verdiği yanıttan yola çıkarak onun matematiksel anlayışı hakkında ne söyleyebilirsiniz? 

Öğretmen 1: Örüntüler konusuyla ilgili kazanımlara hakim değildir. Soruyu dikkatle incelemiş, her adımı oluşturan kare sayısını doğru olarak hesaplamış, hatta iki sayının çarpımı olarak çözümlemiştir. Buradan devam ederek adım sayısı ve şekil sayısı arasında bir ilişkiyi yakalama aşamasına kadar gelmiş ancak bu bilgiyi anlamlandıramamıştır. Bir tablo oluşturmaya çalışmış, ama tabloda her adımı tek tek yazmıştır. Buradan kendi oluşturduğu hatalı(aslında eksik) tablodaki öğrencinin adımlar ve kare sayısı arasındaki 2 fazlası ilişkisini bile anlamadığını ve bu yüzden adımları tek tek yazdığını anlıyoruz.

Öğretmen 2: Öğrencimiz örüntüde ilk 4 adımda kare sayılarını doğru hesaplarken tabloya geçtiği an tabloda adım sayısı ve kare sayısı yanlış aktarılmıştır. Bu iki çokluk arasındaki ilişkiyi öğrencimiz hissetmiştir fakat (Öğretmen 1) öğretmenimizin söylediği gibi bu ilişkiyi anlamlandıramadığından 18. Adım’a kadar yazarak hesaplanmıştır. Öğrencimizin örüntü konusunda adım sayısı ile örüntüdeki sayı arasındaki ilişkiyi doğru belirlediğini fakat verilerini düzenleme, tabloya aktarma ve bunu cebirsel olarak ifade etme kısmında yani örüntü kuralı oluşturmada eksiklikleri olduğunu düşünüyorum.

Öğretmen 4: Öğretmen 1 ve Öğretmen 2 öğretmenlerime katılıyorum. Öğrencimiz örüntüler konusuna hakim değil. Şekil örüntüsü verildiği zaman çözümleyebiliyor fakat tabloya aktarma kısmında adım sayısı ve karelerin sayıları arasında ki ilişkiyi tam olarak anlamlandıramadığı için hata yapıyor. Ve muhtemelen ilişkiyi kuramadığı için de tek tek bütün adımları yazmış olmasına rağmen hatalı sonuca ulaşıyor.

Öğretmen 5: Ben de hocalarıma katılıyorum. basit örüntüleri yapabileceğini düşünüyorum. fakat örüntünün kuralını bulma ya da kuralı verilen bir örüntüde istenilen adımı bulma gibi işlemleri yapabileceğini sanmıyorum.

Çözümü yapan öğrenci sizin öğrenciniz olsaydı öğrencinin bu çözümünden sonra nasıl bir yol izlerdiniz? Neden?

Öğretmen 1: Bu öğrencinin örüntüler kazanımına hakim olmadığını düşünüyorum. Aslında şekli analiz edebiliyor bu yüzden bu aşamadan sonra adım sayısı ve kare sayısı arasında anlamlı bir ilişki kurması için yardımcı olmaya çalışırdım. 1.adımda varken 1 x 3 kare , 2. adımda 2 x 4 kare, 3. adımda 3 x 6 kare, 4. adımda 4 x 8 kare; yani her adımda adım x (adım+2 kare) şeklinde kendi yazdığı bilgileri de kullanmasını da sağlayarak 25 x (25+2) kare sonucuna ulaşması için rehberlik ederdim. Öğrenci tablo oluştururken tek tek devam ettiği (kolay yola kaçıyor) için 25. adımı tek tek hesaplayabileceğini ancak 125. adım sorulsaydı ne yapacağını sorardım. Bu yüzden bir kural oluşturmamız gerektiğini vurgulardım.

Öğretmen 2: Öğrencimiz örüntünün ilk 4 adımında ilişkiyi doğru bir şekilde belirleyip kare sayılarını da altına yazdığı için sağ taraftaki dikey tablodan bağımsız bir şekilde ilk 4 şeklin devamında tablomuzu yatay olarak yapmasını ve aynı şekilde birkaç adım daha devam etmesini isterim. Bu noktada çarpım halinde yazdığı sayılar arasında miktar olarak nasıl bir ilişki olduğunu sorarım. Adım sayısı ve bunun 2 fazlasının çarpımını fark ettikten sonra yatay tablomuzdaki çoklukların isimlendirmesini nasıl yapabiliriz sorusunu yöneltirim. Kare sayısı ve örüntünün ilişkisini hissettikten sonra bu noktada da Şekil 1, 2,3 diye giden kısmı da örüntümüzün adım sayısı ile ilişkilendirmesine rehberlik ederek öğrencimize son olarak 25. Adım için yatay olan bu tablomuzu dondurmasını söylerim.

Öğretmen 4: Ben öncelikle tabloya önce ki adımları (ilk 4 adım) eklemesini isterdim. Buradan yola çıkarak tabloda yazdığı “kare sayısı” ile şekil üzerinde var olan “kare sayılarını” karşılaştırtıp önce burada ki hatasını farketmesini sağlardım. Verilen ilk 4 adımda ki adım sayısını ve kare sayısını doğru yazdıktan sonra tabloya bir sütun daha ekleyip “Adım sayısı ve Kare sayısı arasında ki ilişki” yi de o sütuna eklemesini isterdim. Yani 1. sütün(Adım sayısı), 2. sütun(Kare sayısı) ve 3. sütun (aralarında ki ilişki) olacak şekilde tabloyu güncelleyip kuralı kendiliğinden keşfetmesi için vakit verirdim. Çünkü ilk 4 adımda kare sayılarını çarpım şeklinde yazabildiyse kuralı da keşfedebilir diye düşünürdüm. Daha sonra 100. adımı bulmasını isterdim ki neden kural bulma konusunda inatçı davrandığımızı gösterebilelim.