Merhaba Öğretmenlerimiz,

Bu hafta, Khan Akademi’de yer alan açı ölçme ve açı çizme etkinliklerine 5. sınıf öğrencisi olan Defne’nin yaklaşımını inceleyeceğiz.

Açı Ölçme Etkinlik Linki: https://tr.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-angle/measure-angles/e/measuring_angles
Açı Çizme Etkinlik Linki: https://tr.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-angle/measure-angles/e/drawing-angles

Öğretmenlerimiz sizce Defne bu soruyu nasıl çözmüştür? Defne’nin akıl yürütmesi doğru mudur? Neden?

Öğretmen 1: Defne 140 derecelik açıyı doğru açının 180 derece ve her ne kadar ifade etmese de 90 derece dik açıyı bildiği için bunlara dayanarak tahmin ettiğini düşünüyorum. Açı ölçer çift taraflı olmadığı için ve henüz bütünler açı kavramı oturmadığı için düz olan kısım sağ tarafta kaldığında öyle yapamadığını ifade etmiştir. Çünkü açının diğer kolu dar açıyı gösterdiğini farketti öyle olunca. Fakat daha sonra açı ölçer üzerindeki birimleri sayarak – ki bunu yaparken dik açının sağ ve solunu simetrik olarak düşündü fakat birimleri sayarken biraz kafası karıştı diye düşünüyorum- düz olan açı kolunun sağda veya solda olmasının bir farkı olmayacağını farketti. Diğer dar açıları tahmin ederken oldukça küçük aralığa sahip olduğu için 25 derece olabileceğini söyledi. Sanıyorum ki aynı açı açı kolları aşağıyı gösterecek şekilde olduğunda onun daha büyük göründüğünü ifade etti ve 30 derece olarak tahmin etti. Daha sonra açı ölçer ile doğru bir şekilde ölçümleri yaparak tahminindeki doğru ve yanlışları görmüş oldu.

Öğretmen 2: Genel olarak (Öğretmen 1) hocamıza katılıyorum ben de. Bunun dışında Defne ilk videoda açıölçeri düzgün kullanamıyordu bence. bunun nedeni sanal ortamdan da kaynaklı olabilir, materyal olarak kullanmasını da bilmiyor olabilir diye düşündüm. Bu soruyu çözerken önce tahmin yürütüyor daha sonra açının kollarını açıölçeri kullanmasını bilmediği için terste kaldığını farkediyor ve açı kollarını değiştirip açının yönünü değiştirmeye çalışıyor fakat orada farkında olmadan açının ölçüsünü değiştirmiş olabileceğinin farkında değil bence. Fakat sonradan açının ters olmadığını öğretmenin yönlendirmesiyle farkına varıyor ve açıyı eski haline getiriyor ama yine açının ölçüsünü değiştirebileceğini düşünmüyor. Açıyı ölçerken soldan 4 birim sayınca 30 derece ilerliyorsak mantığıyla hareket edip 150 derece olduğunu belitiyor. Burada Defne’nin akıl yürütmesi doğrudur, fakat 10 ar 10 ar 3 kere sayması gerekir. 2. Videoda açıölçeri daha doğru kullanmayı öğrenmiş ve açının başlangıç noktasına açıölçeri koyarak açıyı ölçmesi gerektiğinin farkında. Sadece verilen eş ölçülerdeki iki açının ölçülerini yönleri farklı olunca ikisinin aynı açı olduğunu fark edememiş. Bunun nedeni de tahminini belli bir temele oturtmamış olmasından kaynaklandığını düşünüyor.

Öğretmen 3: Defne 1.etkinlikte 140lık bir açı cizmek istemis. Bu açıyı tahminen cizerken 180 derceyi referans alip kollardan birini 10ar 10ar 180 dereceden eksilterek cizmis. Açı ölçerle ölcüm yaparken baslangic noktalari cakisacak sekilde duzgunce yerlestirmis. Açıölçerin tek tarafli ölcum yaptigini dusunup kollarin yönunü degistiriyor. Ögretmenin düzdü(?) demesi üzerine aslinda onuda ölçebilecegini farkediyor ve iki sekildede ölçüyor.Bu farkedişle birinde net olarak cizimini tahminen 145 oldugunu hemen goruyor. Ikincisinde ise ilk acinin olcusunu bulurken yine 180den geriye dogru 10ar 10ar aralik sayiyor,sonra cizgileri saydigini 30 icin 4 cizgi o halde 4 geri gidersem bu 150dir diyor. İkinci etkinlikte verilen aciyi tahmin ediyor. Dar oldugu icin kollar kucuktur diyor.yerinde bir tahminde bulunuyor . Nitekim burdaki olcumleride dogrudur.
Defne birinci etkinlikte cizimiyle istedigi tahmine ulasamasa da cizimi ve olcumleri dogrudur. Aci konusunun gereklerini yapmistir. Aci olcer kullanimiyla ilgili farkindaligi uzerinde durulmalidir.

Öğretmen 4: Defne ilk videoda verilen geniş açıyı doğru açıya tamamlamış, eksik kısmı 10°lik parçalara ayırarak verilen açı ölçüsünü 140° olarak tahmin etmiştir. Fakat Defne açıları parçalarken aradaki bölgelerden değil de parçaların sınırlarındaki çizgileri sayarak hesap yapmaktadır. Açıyı ölçerken eğer kollarından yatay olan ışın açıölçerde 0° ile üst üste geliyorsa direkt hesap yapabiliyor. Açının sol ışını 0° ile kesişmezse açı ölçerin sınır çizgilerinden yola çıkıp aynı işlemi diğer kola da uygulayıp aynı sınırı belirliyor ve doğru bir şekilde açının ölçüsünü hesaplayabilmektedir. Bu aşamada Defne verilen bir açıya eş bir açı çizimini de doğru bir şekilde yapmıştır. Açı türlerini bilmektedir.Defne ikinci videoda ise ilk açıdan tahmini ölçüyü 20° ya da 25° demiş, gerçek ölçü 25°çıkmıştır, iyi bir tahminde bulunmuştur. Açı ölçeri de dar açının kollarına doğru bir şekilde yerleştirmiştir. 2. Dar açı tahmininde açının duruşu değiştiği için ilk açı ile kıyaslandığında ilk açıdan daha büyük gibi düşünmüştür ve onda da 30° tahminini kullanmıştır. Açının kollarını oluşturan ışınlar arası mesafenin daha uzak olduğunu belirtmiş ve burada da gerçek ölçü 25°, kendi cevabı da 30° olduğundan iyi bir tahminde bulunmasına rağmen gerçek değeri bulamadığından yanlış tahmin ettiğini düşünmüştür, aslında tekrardan iyi bir tahminde bulunmuştur.

Öğretmen 5: İlk videoda Defne 140 derecelik açıyı nasıl çizdiği sorulduğunda önce doğru açıyı gösteriyor, sonra mesafeyi 10ar 10ar kısaltarak yaklaşık olarak 140 derecenin çizdiği gibi bir açı olabileceğini ifade ediyor ve 140 derecenin geniş açı olduğunu söylüyor. Sonra açıölçerle açıyı ölçmek isterken açının kollarının açıölçere göre ters olması (açı kollarından birinin 0 derece değil de 180 derece üzerinde olması)ölçüm yapmasını zorlaştırıyor o yüzden açının kollarının yönünü değiştiriyor ve açıyı ölçünce 145 derecelik açı çizdiğini görüyor. Sonra tekrar açının bir kolunu tekrar açıölçerin 180 derecelik kısmına gelecek şekilde yönünü değiştiriyor ve yine tahmini olarak 140 derecelik bir açı oluşturuyor ve açıölçerle ölçtüğünde oluşturduğu açının 150 derece olduğunu ifade ediyor (bu arada açıölçeri kullanırken ortadaki noktayı açının başlangıç noktasına getirerek doğru bir şekilde ölçüm yapıyor). Neden 150 derece diye sorulduğunda da 0dan 30 a kadar 4 çizgi olduğu için (aralıkları değil sınır çizgileri sayıyor) öbür taraftan da 180den 150 ye kadar 4 çizgi olduğu için sol taraftaki 4 çizgi sağ taraftaki 4 çizgiye eşit yani soldan 30 derece demek sağdan 150 derece demektir şeklinde ifade ediyor. İkinci videoda ise verilen açıyı 20-25 derece şeklinde tahmin ediyor. Nasıl tahmin ettiği sorulduğunda açının kolları arasındaki mesafenin çok az olduğunu ifade ediyor ve açıölçerle ölçtüğünde yine açının bir kolunu 0 dereceye getirerek açının 25 derece olduğunu göstermiş oluyor ve iyi bir tahminde bulunmuş oluyor.2. Soruda da verilen açıyı önceki açıdan biraz büyük olduğunu söylüyor buyüzden 30 derece olabileceğini ifade ediyor ve yine açının bir kolunu 0 dereceye getirip ölçtüğünde açının 25 derece olduğunu görüyor ve yanlış tahminde bulunduğunu söylüyor. haticeetunaa (Konuk) öğretmenimin dediği gibi öğrencinin tahmini o kadar da yanlış bir tahmin değildir 2 videoya bakarak Defnenin dar geniş ve dik açıları bildiğini, açıölçeri doğru mantıkla kullanıp doğru ölçümler yaptığını, yaptığı tahminlerin de güzel tahminler olduğunu söyleyebiliriz. Defne genel olarak açı ölçümlerinde doğru akıl yürütmeleri yapmıştır. Sadece açının bir kolunun sıfır derece üzerinde olduğunda daha kolay ölçebildiğini, ama aslında 180 derece üzerinde olduğunda da doğru akıl yürütmeyle yine açıyı doğru ölçebildiğini söyleyebiliriz.

Öğretmen 6: Diğer öğretmenlerimizin yorunlarına katılıyorum. Defne burada doğru tahminlerde bulunmuştur fakat normal açı ölçerlerde çift taraflı açılar yazdığı için buradaki açı ölçerin doğru yönünü kullanmakta biraz zorlanmıştır. 2.soruda yaklaşık doğru tahminlerde bulunmuş, ölçerek gerçek cevaplara da ulaşmıştır, açı çeşitlerini de tanımaktadır.

Öğretmen 7: Ben de arkadaşlarıma katlıyorum Defne’nin akıl yürütmesini gayet detaylı bir şekilde anlatmışlar. 1.soruda açı ölçülerinin tahminlerinde doğru akıl yürütmüş fakat ölçümlerde bir miktar zorlanmıştır sebebinin de (Öğretmen 6)öğretmenimizin de dediği gibi derslerde kullandığımız açıölçerlerin çift taraflı olmasından kaynaklanabileceğini düşünüyorum. Defne ölçülerine göre açıları sınıflandırabilmiştir. 2.soruda ise aynı dereceli iki eşit açıdan birinin ölçüsünü daha fazla tahmin etmesini ikinci açının kollarının daha uzun olmasından dolayı olabileceğini düşünüyorum. Açı ölçer kullanımını ikinci soruda daha iyi kavramıştır.

Öğretmenlerimiz Defne’nin soruya yaklaşımından yola çıkarak onun matematiksel anlayışı hakkında ne söyleyebilirsiniz?

Öğretmen 1: Defne açı konusunda öğrenmesi gereken bir baslangic noktasi ve iki ışın seklinde kollarla duzgun bir aci cizimi yapabilmistir. Cizdigi açının 90dan buyuk oldugu icin diye ifade ederek genis aci oldugunu biliyor. Acılari cesitlendirebiliyor diyebiliriz.Acı olceri duzgun yerlestirebiliyor. Ölcumlerini dogru buluyor. Piyasada kullanilan aciolcerler iki tarafli olcum yapabiliyorken programdaki belki farklı geldiginden 150lik aciyi olcerken beklenen 180-30 iken o 10ar 10ar eksiltiyor sonra aralik yerine cizgileri sayiyor. Nasıl buldugunu tam ifade edememis bile olabilir. Bu noktada sıkıntılar mevcuttur. Ikinci tahminlerinde de gayet yerinde tahminler yapmis ve olcumlerini doğru gerceklestirebilmis.Konu olarak matematiksel anlayisinin aci cizme, ölcme, acıyı tahmin etme, cesitlendirme olarak yeterli oldugunu düsünuyorum.

Öğretmen 2: Defne açı türünü belirleme, açının ölçüsünü tahmin etme ve verilen bir açıya eş bir açı çizme konularında başarılı bir akıl yürütme sürecine sahiptir. Açının açı ölçer ile kesişen kolu başlangıç olarak 0° ise kolayca hesaplayabikmektedir, böyle olmadığında da yine doğru akıl yürütme yapmıştır fakat hesaplama süreci daha uzun sürmüştür, aslında yine benzer bir akıl yürütme ile eksik olan kısmı hesaplayıp doğru ölçümü yapmıştır. 2. videoda ise Defne ikinci dar açı için de başarılı bir şekilde tahminde bulunmuştur ama yanlış demiştir bulduğu sonuç için. Bu noktada Defne’nin tahmininin yanlış değil fakat bu videodaki birinci tahminindeki kadar iyi bir tahminde bulunmadığı hissettirilebilir. Yanlış tahminden ziyade kötü, iyi ya da daha iyi bir tahminde bulunabileceği vurgulanabilir.

Öğretmen 3: Defne, dar açı, geniş açı ve dik açı gibi açı çeşitlerinin özelliklerini biliyor, yani konu hakkında geometrik bilgiye sahip. Açıları oluştururken başlangıç noktası ve iki ışını kullanarak oluşturması/çizmesi gerektiğini biliyor yani konu hakkındaki grafik bilgisinin de olduğunu söyleyebiliriz. Kullanılan enstrümanın (açıölçerin) da işlevini yani açıyı açıölçerle nasıl ölçebildiğini genel olarak biliyor, fakat açının kollarından birinin 0 veya 180 dereceye geldiğinde yapacağı ölçümdeki kolaylığı değişiyor. 0 derece üzerinde iken daha kolay ölçüm yapıyor. Ama 180 derecede de doğru akıl yürütmeyle doğru ölçüm yapabiliyor belki biraz uzun sürüyor ve bunu yaparken Aralık yerine çizgileri sayıyor.
Öğretmen 4: (Öğretmen 3)hocamın dediklerine katılıyorum. Bu arada Defne 5.sınıf öğrencisi olduğu için bütünler açı kavramını bilmiyor, o yüzden açı ölçerin 0 derece olan kısmında doğru tahminler yapabiliyor, 180 dereceye tamamlama yani bütünler açı kavramını öğrendiğinde açı ölçeri daha iyi kullanabileceğini düşünüyorum.

Öğretmen 5: Arkadaşlarımın dediklerine katılıyorum. Açı çizimini yapabiliyor. Açı ölçer kullanarak verilen açının ölçümünü yapabiliyor. Açıları ölçülerine göre sınıflandırabiliyor. Bütünler ve tümler açı kavramını bilmiyor olabilir.

Öğretmen 6: Defne’nin açı ölçme sorusunda açıölçer kullanma konusunda bir sıkıntı yoktur. Açının köşesinin açıölçerin tam orta noktasına gelmesi gerektiğini ve bir açı kolunun açı ölçerin bir tarafına hizalanacağını bilmektedir. Ancak açı ölçerle ölçmeden önce açılarla ilgili tahminde bulunması bizim de sınıflarımızda yaşadığımız bir durum, genelde öğrenciler bunu ‘doğru bulabilir miyim?’ diye oyunlaştırabiliyorlar..Verilen bir ölçüde açı çizme sorusuna gelinirse de Defne önce açıyı çizip çizdiğinin doğru olup olmadığını açıölçerle kontrol etmeyi tercih etmiş.. açı oluşturulurken açıölçer kullanımı konusunda eksikliği olduğu görülmektedir.. ayrıca açıölçerdeki açı diziliminin tek yönlü olmasından kaynaklı çizimini değiştirme yoluna gitmiş ancak sonradan diğer tarafla parçalar arası ilişki kurarak da aslında ilk çiziminin hangi açıya denk geleceğini bulmuştur ama yine de bunu 180 dereceden farkı şeklinde ifade etmesi beklenirdi.. bu uygulamada öğrencilerde de genelde bulunan çift yönlü dizilimde olan açıölçer kullanılması iyi olurdu.

Öğretmen 7: (Öğretmen6) Öğretmenime çift yönlü açıölçer konusunda katılıyorum. Ama bu şekliyle de bütünler açılar kazanımının keşfederek öğrenilmesine yardımcı olabilir. Öğrencinin bütünler açılar konusunda kazanım eksikleri olduğunu düşündürüyor izlediği yol. Ayrıca birim sayarken kavram yanılgısı da mevcut.
Peki Öğretmenlerimiz, Defne sizin öğrenciniz olsaydı öğrencinin bu çözümünden sonra nasıl bir yol izlerdiniz? Neden?

Öğretmen 1: Defne’ye farklı yönlere bakan eş açılar vererek tahmin etmesini isterdim çünkü bu konuda 2. videoda sorun yaşadığını düşünüyorum. buradaki amacım Defne’nin belli bir temele oturtarak tahmin yürütmesini sağlamak olur. Defne tahmin yürütürken belli bir açıdan referans almadığı ve farklı yönlerden bakınca iki açının eş açıyı farklı tahmin ettiği için sorun yaşadığını düşünüyorum. Bunun dışında Defne’den birbirine eş açılar oluşturmasını isterdim çünkü 1. videoda herhangi bir ölçüye dayandırmadan rastgele açının kollarını oynatarak eş açılar oluşturduğunu düşünüyordu. Bu şekilde eş açılar oluştururken belli bir ölçüye ve adımları izlemesi gerektiğinin farkına varmasını sağlardım.

Öğretmen 2: Öncelikle çizilen bir açıyı ölçme bağlamında farklı yönlere ve farklı çeşitlerde (geniş, dar,dik açı vb.) açıların ölçülerini belirlemesini isterdim yine açı ölçeri kullanarak.. ayrıca önemli olarak istenen ölçüde açı oluşturma etkinliğinde de açı ölçeri açının köşesinden kaldırıp tekrar tahminen inşa ediyordu ya, açı ölçeri kaldırmadan ondan faydalanarak açı oluşturup oluşturamayacağını denemesini isterdim.. bunu fark ederse de farklı değerlerde açılar çizmesini, oluşturmasını isterim..

Öğretmen 3: Birinci videoda Defne 140°lik tahminini yaparken önce düz yapmam lazım dediğinde düz yaptığında 180°lik açı olduğunu söylemiştir. Ardından 140°lik açı oluştururken 150°lik açı oluşturmuş ve sol tarafta 30° sağ tarafta 150°lik bir açı bulduğunu parçaları oluşturan çizgilerden doğru hesaplamıştır. Bu açıların toplamı kaçtır sorusunu yöneltirim. Bu kısımda açının Defne’ye göre düz olmayan kolunu hareket ettirip o ışının parçaladığı kolların sağ ve solundaki açıların her zaman 180°olduğunu fark ettiririm. Böylelikle her zaman doğru açı elde edip açının düz olmayan kolu da olsa ölçümü rahat yapacağı şekilde bir açıyı direkt hesaplayıp diğer açıyı da doğru açıya tamamlayıp kısa yoldan ölçüm yapabileceğini gösteririm.
İkinci videoda ise ikinci açı içinde yaptığı 30°lik tahmininin yanlış olmadığını hissettirmek için bu açı için 20°, 30° ve 35° deseydik üçü de yanlış bir tahmin mi olurdu sorusunu yöneltirdim. Buradaki amacım iyi ve kotü tahmin noktasına vurgu yapmaktır. Sonrasında da en iyi tahmin ne olur sorusunu yöneltirim. Böylelikle gerçek ölçüye eşit ve diğer tahminlerin iyilik derecesini sıralatırım. Önemli olanın tahminde gerçek ölçü ile arasındaki sayı aralığına bakıp iyi ya da kötü tahmin olacağını, en iyi tahminin gerçek değeri bulmak olduğunu vurgularım ve en son kendi tahmininin yanlış tahmin mi yoksa iyi bir tahmin mi olduğunu sorarım.

Öğretmen 4: 1.soru için 150 derecelik açıyı ölçtükten sonra 30 derecelik bir açı çizdirir ve bu iki açıyı aynı kol üzerinde birleştirerek kaç derecelik bir açı oluşturduğunu görmesini sağlar buradan bütünler açı kavramına giriş yapabilirdim. 2.soru da ise kollarının farklı uzunlukta olduğu aynı dereceli birkaç açıyı aynı ekranda çizerek ölçümleri yapmasını isteyebilirdim. Böylece açı kollarının uzunluğunun aslında açının derecesinde etkisi olmadığını görmesini sağlardım ve yine (Öğretmen 3) hocamın da bahsettiği iyi tahmin kötü tahmin kavramları üzerinde dururdum.