Aşağıda çevrimiçi ortamda yukarıdaki soruya ilişkin yapılan tartışmadan bir kesit sunulmuştur:

Merhaba öğretmenlerimiz, bu hafta 8.sınıf öğrencileri olan Ali, Merve ve Hilal’in olasılık ile ilgili bir soruya yönelik yaptıkları tartışma aşağıdaki videoda verilmiştir.

a) Ali ve Merve verilen soruyu nasıl cevaplamıştır? Sizce uygun akıl yürütmüşler midir? Neden?

b) Ali ve Merve’nin düşüncelerinden yola çıkarak basit olayların olma olasılığına ilişkin kavrayışları hakkında ne söyleyebilirsiniz? Açıklayınız.

Öğretmen 1:

Ali, kırmızı bölgenin B çarkında bütün bir şekilde verildiği için çarkın kırmızıda durma ihtimalinin B çarkında daha yüksek olacağını söylemiştir. Merve ise aksine A çarkında kırmızı alanlar dağınık olduğu için çarkın kırmızı kısımda durma ihtimalinin A çarkında daha yüksek olacağını söylemiştir. İki öğrencinin de olasılık kavramını bilmediğini düşünüyorum. Uygun akıl yürütememişlerdir.

Ali ve Merve kendi iddialarını, iki kez (25+25 şeklinde toplam 50 kere) çarkı çevirerek kanıtlamaya çalışmışlardır. Deneylerin sonunda Ali’nin seçtiği çarkın kırmızıda durma olasılığı daha yüksek çıktığı için Ali kendi iddiasının doğru olduğunu savunmuştur. Ancak yeterli sayıda deney yapmadıkları için teorik ve deneysel olasılığın birbirine yakınlaşmasını gözlemleyememişlerdir. Oysaki ilk 25 kez çevirdiği deney ile ikinci 25 kez çevirdiği deneyin sonuçlarını kıyaslasalardı teorik ve deneysel olasılıkların birbirine yaklaştığını fark edeceklerdi. Ve sonrasında birkaç kez daha aynı deneyi gerçekleştirdiklerinde iki çarkın olasılıklarının da birbirine çok yaklaştığını göreceklerdi.

Öğretmen 2:

a) Ali ve Merve kırmızı dilimlerin kapladığı alanın tüm alana oranını hesaplamadan yani matematiksel bir temele oturtmadan yorumlama yapmışlardır. Ali kırmızı dilimler bir arada ve diğer renklerden daha büyük bir paya sahip diye düşünüp B çarkını seçmiştir. Merve ise A çarkının 12 es dilime ayrıldığını görüp, kırmızı dilimlerin sayısının diğerlerinden fazla olması ve her noktaya eşit dağılmasını da düşünerek B çarkından daha fazla olasılığa sahip diye düşünmüştür. Bu noktada …….. öğretmenimin de dediği gibi dilimlerin konumlarını dikkate alıp yanlış bir akıl yürütme yapmışlardır. Çark çevirme deneyinde çıkan sonuçların birbirine yakınlığının ihmalini düşünmeden tüm sonuçlara genelleyip B çarkının fazla olduğunu söyleyip yine yanlış akıl yürütme yapmıştır bu da öğrencinin deneysel ve teorik olasılık arasındaki farkı bilmemesinden kaynaklanmaktadır.

b) Ali ve Merve istenen durumun tüm duruma oranını Yani kırmızı dilimin kapladığı alanın tüm alana oranını iki çarkta da bulması gerektiğini bilmemektedirler. Ve çarklar çevrilip yapılan deneyde de çevirme sayısının arttıkça olasılığında birbirine yaklaştığını fark edememişlerdir.

Öğretmen 3:

Ali ve Merve yanlış, Hilal doğru akıl yürütmüştür. Ali B çarkının, Merve ise A çarkının kırmızıda durma ihtimalinin daha fazla olduğunu düşünüyor. Ali kırmızı rengin bir arada olduğundan, Merve ise daha fazla sayıda olduğundan bahsediyor. Merve A çarkındaki ve B çarkındaki kırmızı dilim sayısının aynı olduğunu fark etmediği için yanlış akıl yürütmüştür. Kırmızı alan daha fazla parçalanmış olduğu için toplam kırmızı alan sayısının daha fazla olduğu şeklinde temel bir yanılgıya düşmüştür. Ali’nin yorumu ise daha özneldir. Ali’nin söylediklerinde ima ettiğine göre her iki çarkta da kırmızı bölgeler eşit sayıdadır, ancak renkler B çarkında bir arada oldukları için kırmızıda durma olasılığı daha fazladır. Bu da yanlış bir akıl yürütme sürecinin başlangıcı olmuştur. Alanların bir arada veya dağınık olmasının bir önemi yoktur. Önemli olan; renkler her iki çarkta da eşit alana sahiplerse teorik olarak olasılığın da eşit olmasıdır. Hilal ise bu bilgiye sahiptir, doğru akıl yürütmüştür. Renklerin yerinin değil de dilimlerin sayısının önemli olduğu ifadesinden teorik olasılığı bildiğini ve uygun akıl yürüttüğünü anlıyoruz.

İkinci kısımda bir program aracılığı ile deneysel olasılık denemesi yapılıyor. Deneme sayısının az olması ve şans faktörünün de etkisiyle her üç öğrencinin denemesinde de Çark B’ de kırmızı bölgelerde daha fazla duruyor. Bu yüzden Ali aslında hatalı olan akıl yürütme sürecinin doğru olduğunu düşünüyor. Çünkü sonuçlar Ali’nin düşüncesini destekliyor. Ancak ……… öğretmenimin de söylediği gibi deneme sayısını arttırmaya devam etselerdi, olasılık değerinin %50 ye yaklaşacağını görecekti her üçü de ……… öğretmenimizin bahsettiği gibi deneme sayısı az olduğu için deneysel olasılık değerleri teorik olasılık değerinden uzaktır. Aynı zamanda deneme sayısına kısmen bağlı olarak, şans faktörü devrededir, her üç öğrencinin deneyinde de B çarkı kırmızı bölgede daha fazla durmuştur.

Bir öğretmenimiz tarafından sınıf ortamında ilgili soru kullanılarak uygulanan karşılıklamalı öğretim hareketlerine ilişkin videolara aşağıdaki linklerden ulaşabilirsiniz.

Video 1 ve 2: Sınıf içi uygulaması